汉密尔顿函数

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汉密尔顿体系适用于摄动理论,例如天体力学的摄动问题,并对理解复杂力学系统运动的一般性质起重要作用。
中文名
汉密尔顿函数
学    科
量子力学、经济学
提出者
汉密尔顿
提出时间
19世纪
19世纪英国数学家汉密尔顿用变分原理推导出汉密尔顿正则方程,此方程是以广义坐标和广义动量为变量,用汉密尔顿函数来表示的一阶方程组,其形式是对称的。用正则方程描述运动所形成的体系,称为汉密尔顿体系或汉密尔顿动力学(Hamiltonian),它是经典统计力学的基础,又是量子力学借鉴的范例。汉密尔顿体系适用于摄动理论,例如天体力学的摄动问题,并对理解复杂力学系统运动的一般性质起重要作用。
汉密尔顿函数本身来源于对古典变分法的引申,其结论可还原为欧拉方程。现代西方经济学也将汉密尔顿函数引入自身的动态优化问题当中,作为宏观经济分析的一个重要手段。

汉密尔顿函数数学推导

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汉密尔顿函数基本问题的形式如下:

Max V(u)=∫F(t,y,u)dt (积分范围0~T)
s.t. y(*)=f(t,y,u),y(0)=A,y(T)=yT,(y(*)是指y的增量)
对任意t∈(0,t),都有u(t)∈Γ,Γ是闭凸集。
状态路径y,只要求分段连续可微(注意与古典变分法区别)

汉密尔顿函数汉密尔顿函数的形式:

H(t,y,u,λ)=F(t,y,u)+λ(t)·f(t,y,u)

汉密尔顿函数最大值原理(庞特利雅金—赫斯坦斯原理):

  1. 取得内点解的一阶条件:∂H/∂u=0
  2. y的运动方程:y(*)=∂H/∂λ
  3. λ的运动方程:λ(*)=-∂H/∂y
  4. 横截性条件:(一般情况下)λ(T)=0

汉密尔顿函数汉密尔顿函数求解与古典变分法的关系:

Max V(u)=∫F(t,y,u)dt (积分范围0~T)
s.t. y(*)=u,y(0)=A,y(T)=yT,
在汉密尔顿函数求解中,令y(*)=u
∂H/∂u=0得知λ=-Fu(F函数对u求导),而u=y(*),即λ=-Fy(*)(F函数对y(*)求导)
λ(*)=-∂H/∂y=-Fy=-dFy(*)/dt
Fy=-Fy(*)/dt即是欧拉方程的一般形式。也从根本上说明了汉密尔顿函数求解最优控制问题时的思想还是基于古典变分法。
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菜品 理学 学科